Matematika: Analisis Real " Barisan dan Limit Bilangan Real "

Barisan Bilangan Real

3.1. Barisan dan Limit Barisan

Di sini diharapkan pembaca mengingat kembali bahwa yang dimaksud dengan suatu barisan pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi pada himpunan N = {1, 2, 3,...} dengan daerah hasilnya di S. Selanjutnya dalam bab ini kita hanya memperhatikan barisan di R.

3.1.1. Definisi

Suatu barisan bilangan real (atau suatu barisan di R) adalah suatu fungsi pada himpunan N dengan daerah hasil yang termuat di R. Dengan kata lain, suatu barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n = 1, 2, 3, ... secara tunggal dengan bilangan real. Bilangan real yang diperoleh tersebut disebut elemen, atau nilai, atau suku dari barisan tersebut. Hal yang biasa untuk menuliskan elemen dari R yang berpasangan dengan nÎN, dengan suatu symbol seperti xn (atau an, atau zn). Jadi bila X : N R suatu barisan, kita akan biasa menuliskan nilai X di n dengan Xn, dari pada X(n), kita akan menuliskan barisan ini dengan notasi

X, Xn, (Xn : n Î N),

Kita menggunakan kurung untuk menyatakan bahwa urutan yang diwarisi dari N adalah hal yang penting. Jadi, kita membedakan penulisan X = (Xn : nN), yang suku-sukunya mempunyai urutan dan himpunan nilai-nilai dari barisan tersebut {Xn : n N} yang urutannya tidak diperhatikan. Sebagai contoh, barisan X = ((-1) n : n N) yang berganti-ganti -1 dan 1, sedangkan himpunan nilai barisan tersebut { (-1)n: n N } sama dengan {-1, 1}.

Dalam mendefinisikan barisan sering lebih mudah dengan menulis secara berurutan suku-sukunya, dan berhenti setelah aturan formasinya kelihatan. Jadi kita boleh menulis

X= (2, 4, 6, 8, ...) untuk barisan bilangan genap positif,

atau

untuk barisan kebalikan dari bilangan asli,

atau

untuk barisan kebalikan dari kuadrat bilangan asli. Metode yang lebih memuaskan

adalah degan menuliskan formula untuk suku umum dari barisan tersebut, seperti

X = (2n : nN) Y = Z=

Dalam prakteknya, sering lebih mudah dengan menentukan nilai dan suatu formula untuk mendapatkan (n 1) bila diketahui dan formula dari , , ... . Metode ini kita katakan sebagai pendefinisian barisan secara induktif atau rekursif. Dengan cara ini, barisan bilangan bulat positif X di atas dapat kita definisikan dengan

= 2 = (n 1);

atau dengan definisi

= 2 = + (n 1).

Catatan : Barisan yang diberikan dengan proses induktif sering muncul di ilmu komputer, Khususnya, barisan yang didefinisikan dengan suatu proses induktif dalam bentuk = diberikan, = f( ) untuk n N dapat dipertanggung jawabkan untuk dipelajari dengan menggunakan komputer. Barisan yang didefinisikan dengan proses : = diberikan, , = ( , , ... , ) untuk n N juga dapat dikerjakan (secara sama). Tetapi, perhitungan dari suku-suku barisan demikian menjadi susah untuk n yang besar, karena kita harus menyimpan masing-masing nilai , ..., dalam urutan untuk menghitung .

3.1.2. Contoh

(a). Bila b Î R, barisan B = (b, b, b, ...), yang sukunya tetap b, disebut barisan konstan b. Jadi barisan konstan 1 adalah (1, 1, 1, ...) semua yang sukunya 1, dan barisan konstan 0 adalah baisan (0, 0, 0, ...).

(b). Barisan kuadrat bilangan asli adalah barisan S = = yang tentu saja sama dengan barisan (1, 4, 9, ..., n², ...).

(c). Bila aÎR, maka barisan A = (aⁿ : nÎN) adalah barisan (a¹,a²,a³,...,aⁿ,...).

Khususnya bila a = . maka kita peroleh barisan.

(d). Barisan Fibonacci F = (fn : n Î N) diberikan secara induktif sebagai berikut:

F₁:=1,f₂:=1, f_n+1:=f_n-1+fn

Maka sepuluh suku pertama barisan Fibonacci dapat dilihat sebagai F = (1, 1, 2, 3,

5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)

Sekarang akan kita kenalkan cara-cara penting dalam mengkonstruksi barisan

baru dari barisan-barisan yang diberikan.

3.1.3. Definisi

Bila X = (x_n) dan Y = (y_n) barisan bilangan real, kita definisikan jumlah X + Y = (x_n + y_n: nÎN), selisih X - Y = (x_n – y_n : nÎN), dan hasil kali X.Y=(x_ny_n: nÎN). Bila c Î R, kita definisikan hasil kali X dengan c yaitu cX=(cx_n : nÎN).

Akhirnya, bila Z = (z_n) suatu barisan dengan z_n¹ 0 untuk semua nÎN, maka hasil

bagi X oleh Z adalah X/Z = (x_n/ z_n : nÎN).

Sebagai contoh, bila X dan Y berturut-turut adalah barisan-barisan

X := , Y :=

X+Y =

X-Y=

X.Y=(2,2,2,…..2,….)

3X =(6,12,18,….6n)

X/Y=(2,8,18,….2n²)

Kita catat bahwa bila z menyatakan barisan

Z = (0, 2, 0, ..., 1 + (-1)ⁿ, ...),

maka kita dapat mendefinisikan X + Z, X-Z, dan X.Z; tetapi tidak dengan X/Z, karena Z mempunyai suku 0.

Terdapat beberapa konsep limit dalam analisa real. Pemikiran limit barisan

merupakan yang paling mendasar dan merupakan fokus kita dalam bab ini.

3.1.4. Definisi

Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit dari (xn), bila untuk setiap e > 0 terdapat bilangan asli K(e), sedemikian sehingga untuk semua n ³ K(e), suku-suku xn terletak dalam lingkungan-e, Ve(x). Bila x merupakan suatu limit dari barisan tersebut, kita katakan juga bahwa X=(xn) konvergen ke x (atau mempunyai limit x). Bila suatu barisan mempunyai limit, kita katakan barisan tersebut konvergen, bila tidak kita katakan divergen. Penulisan K(e) digunakan untuk menunjukkan secara eksplisit bahwa pemilihan K bergantung pada e; namun demikian sering lebih mudah menuliskannya dengan K,dari pada K(e). Dalam banyak hal nilai e yang “kecil” biasanya akan memerlukan nilai K yang “besar” untuk menjamin bahwa xn terletak di dalam lingkungan Ve(x) untuk semua n ³ K = K(e).

Kita juga dapat mendefinisikan kekonvergenan X = (xn) ke x dengan mengatakan : untuk setiap lingkungan-e Ve(x) dari x, semua (kecuali sejumlah hingga) sukusuku dari x terletak di dalam Ve(x). Sejumlah hingga suku-suku tersebut mungkin tidak terletak di dalam Ve(x) yaitu x1, x2, ..., xK(e)-1.

Bila suatu barisan x = (xn) mempunyai limit x di R, kita akan menggunakan notasi

lim X = x atau lim (xn) = x.

Kita juga akan menggunakan simbol xn ¾® x, yang menyatakan bahwa nilai xn“mendekati” x bila n menuju 0.

3.1.5. Ketunggalan limit

Suatu barisan bilangan real hanya dapat mempunyai satu limit.

Bukti :

Andaikan sebaliknya, yaitu x¢ dan x¢¢ keduanya limit dari X =(x_n) dan x’¹x”. Kita pilih e >0 sehingga Ve(x’) dan Ve(x”) saling asing (yaitu, e < ½½x” - x’½). Sekarang misalkan K’ dan K” bilangan asli sehingga bila n > K’ maka x_nÎVe(x’) dan bila n >K” maka xnÎVe(x”). Tetapi ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa Ve(x’) dan Ve(x”) saling asing. (Mengapa?). Haruslah x’ = x”.

3.1.6. Teorema

Misalkan X = (x_n) barisan bilangan real dan misalkan pula xÎR.

Maka pernyataan berikut ekivalen.

(a). X konvergen ke x.

(b). untuk setiap lingkungan-e Ve(x), terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk semua n ³ K(e), suku-suku x_nÎVe(x).

(c). untuk setiap e > 0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk semua n³ K(e),suku-suku xn memenuhi ½x_n - x½<e.

(d). untuk setiap e > 0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk semua n³ K(e),suku-suku xn memenuhi x-e < x_n< + e, " n ³ K(e)

Bukti :

Ekivalensi dari (a) dan (b) merupakan definisi. Sedangkan ekivalensi dari (b), (c), dan (d) mengikuti implikasi berikut :

X_nÎVe(x) Û½x_n - x½ < e. Û -e < x_n - x < eÛ x- e < x_n < x + e.

Catatan : Definisi limit barisan bilangan real digunakan untuk membuktikan bahwa nilai x yang telah ditetapkan merupakan limit. Hal ini tidak menentukan berapa nilai limit seharusnya. Sehingga diperlukan latihan untuk sampai kepada dugaan (conjecture) nilai limit dengan perhitungan langsung suku-suku barisan tersebut. Dalam hal ini komputer akan sangat membantu. Namun demikian karena komputer hanya dapat menghitung sampai sejumlah hingga suku barisan, maka perhitungan demikian bukanlah bukti.

Untuk menunjukkan bahwa suatu barisan X = (xn) tidak konvergen ke x, cukup dengan memilih eo > 0 sehingga berapapun nilai K yang diambil, diperoleh suatu nk > K sehingga xnk tidak terletak dalam Ve(x), (Perubahan lebih detail pada 3.4).

3.1.7. Contoh

(a) lim (1/n)=0

Misalkan diberikan sebarang e > 0. Maka menurut sifat Archimedes terdapat KÎN sehingga < e Akibatnya untuk semua n ³ K dipenuhi.

Ini membuktikan lim(1/n)=0.

(b) (lim(1/n²)

Bila diberikan sebarang e > 0, maka terdapat KÎN, sehingga

Karena itu untuk semua(1/n²)< e membuktikan

Pilih e0 = 1, sehingga untuk sebarang KÎN, jika n ³ K dan n bilangan ganjil, maka

x_n - 0 = 2 - 0 = 2 > 1.

Ini mengatakan bahwa barisan (1+ (-1) ) n tidak konvergen ke 0 .

Ekor Barisan

Perlu dimengerti bahwa kekonvergenan (atau kedivergenan) suatu barisan bergantung hanya pada prilaku suku-suku “terakhirnya”. Artinya, bila kita hilangkan m suku pertama suatu barisan yang menghasilkan Xm konvergen jika hanya jika barisan asalnya juga konvergen, dalam hal ini limitnya sama.

3.1.8. Definisi

Bila X = (x1, x2, ..., xn, ...) suatu barisan bilangan real dan m selalu

bilangan asli maka ekor-m dari X adalah barisan X = (xm+n : nÎN) = (xm+1,xm+2,...). Sebagai contoh, ekor-3 dari barisan X = (2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n, ...) adalah barisan X3 = (8, 10, 12, ..., 2n + 6,...).

3.1.9. Teorema

Misalkan X = (xn : nÎN) suatu barisan bilangan real dan mÎN. Maka ekor-m adalah Xm = (xm+n : nÎN) dari X konvergen jika dan hanya jika X konvergen, dalam hal ini, lim Xm = lim X.

Bukti :

Dapat kita catat untuk sebarang pÎN, suku ke-p dari Xm merupakan suku ke-(m+p) dari X. Secara sama bila q > m, maka suku ke-q dari X merupakan suku ke (q-m) dari Xm.

Misalkan X konvergen ke x. Maka untuk sebarang e > 0, bila untuk n³ K(e) suku-suku dari X memenuhi xn -x < e, maka suku-suku dari Xm dengan k ³ Km(e) - m memenuhi xn -x < e.Jadi kita dapat memilih Km(e)=Km(e) - m, sehingga Xm juga konvergen ke x.

Sebaliknya, bila suku-suku dari Xm untuk k ³ Km(e) memenuhixn-x <e

maka suku-suku dari X dengan n ³ Km(e) + m memenuhi xn -x < e. Jadi kita dapat memilih K(e) = Km(e) + m. Karena itu, X konvergen ke x jika dan hanya jika Xm konvergen ke x.

Kadang-kadang kita akan mengatakan suatu barisan X pada akhirnya mempunyai sifat tertentu, bila beberapa akar x mempunyai sifat tersebut. Sebagai contoh, kita katakan bahwa barisan (3, 4,5, 5, 5, ...,5, ...) pada akhirnya konstan. Di lain pihak, barisan 3, 5, 3, 5, ..., 5, 5, ...) tidaklah pada akhirnya konstan. Gagasan kekonvergenan dapat pula dinyatakan dengan begini : suatu barisan X konvergen ke x jika dan hanya jika suku-suku dari X pada akhirnya terletak di dalam lingkungan-e ke x.

3.1.10. Teorema

Misalkan A = (an) dan X = (xn) barisan bilangan real dan xÎR. Bila untuk suatu C > 0 dan suatu mÎN, kita mempunyaixn -x £ Can untuk semua nÎN dengan n ³ m, dan lim (an) = 0, maka lim (xn) = x.

Bukti :

Misalkan diberikane > 0. Karena lim (an) = 0, maka terdapat bilangan asli KA(e/C), sehingga bila n ³ KA(e/C) maka an  = an - 0 < e/C. Karena itu hal ini mengakibatkan bila n ³ KA(e/C) dan n ³ m, maka xn -x £ C xn - x < C( )e

C = e. Karena e > 0 sebarang, kita simpulkan x = lim (xn).

3.1.11. Contoh-contoh

(a). Bila a > 0, maka lim

Karena a > 0, maka 0 < na < 1 + na. Karenanya 0<1/(1+na)<1/(na). Yang selanjutnya mengakibatkan

untuk semua nÎN.

Karena lim(1/n), menurut Teorema 3.1.10 dengan C =1/a dan m = 1 diperoleh Bahwa lim (1/(1+naⁿ)=0

(b). lim(1/2ⁿ)=0

Karena 0 < n < 2ⁿ untuk semua nÎN, kita mempunyai 0<1/2ⁿ<1/n yang

mengakibatkan

untuk semua nÎN.

Dengan menggunakan teorema 3.1.10 terdapat lim (1/2ⁿ)=0.

(c). Bila 0 < b < 1, maka lim (bn) = 0.

Karena 0 < b < 1, kita dapat menuliskan b=1/(1+a).Dimana a :=(1/b)-1 sehingga a>0.Dengan ketaksamaan Bernoulli 2.2.13 kita mempunyai (1+a)n ³ 1 + na. Dari sini

0<bⁿ=

sehingga dengan menggunakan Teorema 3.1.10, diperoleh lim (bn) = 0.

(d). Bila C > 0, maka lim (c^1/n) =1.

Untuk kasus C = 1 mudah karena (c^1/n) =1, merupakan barisan konstan (1,1, 1, ...) yang jelas konvergen ke 1.

Bila C > 1, maka (c^1/n) =1+d untuk suatu dn > 0.Dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli 2.2.13(c)

C =(1+d_n)ⁿ, untuk semua nÎN.

Karenanya C - 1 ³ ndn, sehingga dn £ (c-1)/n. Akibatnya akan mempunyai

Untuk semua nÎN.

Dengan menggunakan Teorema 3.1.10 diperoleh lim (c^1/n) =1 maka c > 1.

Sedangkan bila 0 < C < 1; maka c^1/n=1/(1+h_n) untuk suatu hn > 0. Dengan menggunakan kesamaan Bernoulli diperoleh

c =

yang diikuti oleh 0 < hn < 1/nc untuk semua nÎN. Karenanya kita mempunyai

0 < 1 – c^1/n =

sehingga

untuk semua nÎN.

Dengan menggunakan Teorema 3.1.10 diperoleh lim (c^1/n) = 1 maka 0<c<1.

(e). lim (n^1/n) = 1.

Karena n^1/n > 1 untuk n > 1, maka n^1/n= 1+k_n untuk suatu kn > 0 bila n >1. Akibatnya n = (1 + kn)ⁿ untuk n > 1. Dengan teorema Binomial, bila n > 1 kita mempunyai

n = 1+ nk_n+ yang diikuti oleh

n – 1

Dari sini k untuk n > 1. Sekarang bila e > 0 diberikan, maka menurut sifat Archimedes