Matematika

Makalah tentang Operasi Bilangan

Jumat, 12 Desember 2014

Analisis Real " Teorema-Teorema Limit "

Teorema- teorema limit

3.2.    Teorema-teorema limit
            Pada sebab ini akan di bahas mengenai beberapa teorema yang berkaitan dengan limit pada barisan bilangan real,seperti barisan terbatas dan kekonvergenan barisan.
                                      
3.2.1 Defenisi
Barisan bilangan real, X  =  (xn) dikatakan terbatas jika terdapat bilangan real M > 0 sedemikian sehingga |xn|  M untuk semua n  N.
            Oleh karena itu,barisan (xn) terbatas jika dan hanya jika himpunan {xn:n N} merupakan subset terbatas dari R.

3.2.2  Teorema    
Jika X = (xn) konvergen, maka X = (xn) terbatas.
Bukti : diketahui X = (xn) konvergen , misalkan kekonvergen ke x. Diambil  = 1, maka terdapat K  sedemikian hingga setiap n  berlaku |xn-x|
Menggunakan akibat ketaksamaan segitiga,maka |xn|-|x|  atau |xn|  untuk semua n namakan M = max{x1 , x2 , .... , xk-1,|x|+1} , maka |xn|  ,  untuk semua n  jadi, terbukti bahwa X = (xn) terbatas

3.2.3  Teorema     
Jika  (xn) n)  ,maka
                                i.           
                              ii.           
                            iii.           



Bukti.
        i.            Ambil sebarang  karena n)  , maka terdapat n0  sedemikian hingga untuk setiap n n0 berlaku |xn – x|  . karena n)  terdapat n1  sedemikian hingga untuk setiap n n1 berlaku |yn – y|  . Pilih n2= max {n0 , n1}, maka akibatnya untuk n n2 berlaku
|xn + yn – (x-y)| = |(xn – x ) + (yn – y)|(xn – x ) + (yn – y)|
                         |(xn – x ) + (yn – y)| |  =
Karena berlaku untuk sembarang  , maka (xn + yn ) konvergen ke x + y. Dengan cara yang sama diperoleh bahwa (xn + yn ) konvergen ke x-y , jadi, terbukti bahwa
      ii.            Akan di buktikan bahwa untuk setiap  terdapat   sedemikian hingga untuk setiap  berlaku |xnyn – xy|  . diketahui
|xnyn – xy| = |xnyn – xn y + xny – xy|
                 |xnyn – xn y| + | xny – xy|
                  =|xn ||yn – y| + | xn  - x ||y|.
Karena (xn)  x , (xn) terbatas, akibatnya terdapat M1   sedemikian hingga   |xn|  , untuk semua n  . namakan M = max {M1,|y|} . diambil sebarang  . karena (xn)  x , maka terdapat  K1  sedemikian hingga untuk setiap  K1 berlaku |xn – x|   . Karena |yn|   , maka terdapat K2  sedemikian hingga untuk setiap  K2 berlaku |yn – y|   . Namakan K = max {K1,K2}, maka untuk setiap  K berlaku
                                    |xnyn – xy| |xn ||yn – y|+ | xn  - x ||y|
                                                      <M.  + .M =  +  = .
Jadi, terbukti bahwa untuk setiap  > 0 terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap  K  berlaku |xnyn – xy| <  . dengan kata lain, terbukti bahwa X.Y .
    iii.            Ambil sebarang  > 0 . karena (xn)  x , maka terbatas , K  sedemikian hingga untuk setiap  K  berlaku |xn – x| . Perhatikan bahwa
|cxn – x| = |cxn – xn + xn  - x|
             |cxn – xn| + |xn-x|
               = |xn||c – 1 | + |xn-x|.
Karena (xn)  x , maka (xn) terbatas, yaitu terdapat M > 0 sedemikian hingga  |xn| untuk setiap n . Akibatnya
                 |xn||c – 1 | +   |xn - x| < M. |c – 1| +  = (M.|c – 1|)+  <
Terbukti bahwa untuk setiap  terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap  K beralaku |cxn – x| <  . dengan kata lain terbukti bahwa cX  cx.

3.2.4   Teorema
              Jika X = (xn)  x dan Z = (zn) 0 dengan zn 0 untuk semua n  ,maka
                                                               =
Bukti : terlebih dahulu harus di buktikan bahawa  =   diambil x =  |z| , maka x > 0. karena lim (zn) = z , maka terdapat K1  sedemikian hinnga untuk setiap   K1 berlaku |zn – z | < x . menggunakan akibat ketaksamaan segitiga bahwa –x  |zn – z |    |zn| - |z| untuk  K1, yang berarti  |z| = |z| - x |zn| untuk  K1 . oleh karena       untuk K1 , maka di peroleh
                                                               .
Selanjutnya di berikan ,maka terdapat K2  sedemikian hingga jika  K2 ,maka |zn – z| <    |z|2.Jika diambil K ( ) = max {K1,K2} ,maka Untuk semua K( ) . Karena berlaku sebarang  , maka terbukti bahwa lim =  atau   Konvergen ke . Menggunakan teorema 3.2.3 (ii) dan dengan mengambil Y sebagai barisan  ,maka
X.Y =    x     = .

3.2.5   Teorema
            Jika X = (xn) barisan bilangan real dengan xn  0 untuk semua n  dan (xn)  x,maka x   0
Bukti : diambil  . karena (xn)  x , maka terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap  K berlaku
                         |xn – x| <   xn – x <
                                            x  < xn< x +
                                             x – (-x) < xn < x + (-x)
                                              2x < xn < 0.
Kontradiksi dengan pertanyaan bahwa xn  0 , untuk semua n  . jadi , pengandaian salah , yang benar adalah x  0 .

3.2.6   Teorema
            Jika , (xn)  x , (yn)  y , dan xn  yn untuk semua n , maka x .
Bukti : diberikan zn = yn - xn sehinnga Z = (zn) = Y – X dan zn 0 untuk semua n  . menggunakan teorema 2.2.5 dan 2.2.3 diperoleh bahwa 0  lim Z = lim(yn) - lim(xn) atau lim
(xn) lim (yn) . jadi, terbukti bahwa x .

3.2.7   Teorema
              Jika  X = (xn) konvergen ke x dan jika a xn b untuk semua n  maka a x b
Bukti : di berikan y barisan konstan (b,b,b,...) . menggunakan teorema 2.2.6 di peroleh bahwa lim X Y = b . dengan cara yang sama di peroleh a lim X .Jadi,terbukti bahwa
a lim X a x b.
         Berikut ini di berikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa bahwa suatu barisany berada (terselip)di antara dua barisan yuang konvergen ke titik yang sama, maka y juga konvergen ke titik yang sama.

3.2.8    Teorema
             Di berikan barisan bilangan real X = (xn),  Y = (yn) , dan Z = (zn) sedemikian hingga
                                                              xn yn zn  untuk semua n
   dan lim (xn) = lim (zn) . maka y komvergen dan lim (xn) = lim (yn) = lim (zn).
Bukti : misalkan w: = lim (xn) = lim (zn) . jika di berikan  , maka terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap n   K berlaku |xn – w | <  , atau dengan kata lain –  < xn – w <  dan  –  < zn – w <  . karena xn yn zn , maka xn - w yn - w  zn – w
Akibatnya di peroleh bahwa –  < yn – w <  . karena berlaku untuk semua  K dan , maka terbukti bahwa lim (yn) = w

3.2.9    Teorema
             Jika X = (xn)  x , maka |X| = (|xn|)  |x|.
Bukti : di berikan  . karena X = (xn)  x , maka terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap  K berlaku |xn – x| <  menggunakan akibat taksamaan segitiga , diperoleh bahwa untuk setiap n  berlaku
                                                              ||xn| - |x|| xn – x| <  .
 Jadi , diperoleh bahwa ||xn| - |x|| <  , atau |X| = (|xn|)  |x|.

3.2.10    Teorema
                  Jika X = (xn)  x , dan x  0 , maka bilangan real possitif
Bukti : menurut teorema 2.2.5 di peroleh bahwa x  0 . akan di juntukan bahwa teorema benar untuk x = 0 dan x > 0 .
 Kasus 1 : jika x = 0 di berikan . Karena (xn)  x = 0 maka terdapat K  sedemikian hingga untuk  K berlaku
                                                              0 xn = xn – 0 < 2.
Sehingga di peroleh bahwa 0 n - <  . karena  berlaku untuk setiap , maka terbukti bahwa n) .
 Kasua II : Jika , maka  > 0 . di berikan  , maka terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap  K berlaku |xn – x| <  . perhatian bahwa
n  =
karena n   maka di peroleh
                                                              | n      .
Karena berlaku untuk setiap  , maka terbukti bahwa ( n  .

3.2.11    Teorema
                  Jika (xn) barisan bilangan real (tegas) dengan lim  =  L (ada) dan L ,maka (xn) konvergen dan lim (xn) = 0
Bukti : dipilih r  sedemikian hingga L < r < 1 .diambil = r – L >0.Karena lim =L. Maka terdapat K  sedemikian hingga untuk setiap  K berlaku                       karena
Maka

Sehingga di peroleh
                    L <      <  + L < L + r – L = r  xn+1 < xnr,
 Jadi  untuk setiap  K berlaku
                       0 < xn+1 < xnr < xn-1 r2 < xn-2 r3 <... < xkrn+1-k =  
Jadi di ambil c =  , maka di peroleh
                     0 < xn+1 < crn+1  untuk semua  K .
 Mengingat bahwa lim (rn) = 0 (sebab 0 < r < 1 ) , maka
                     Lim (rn) = 0 lim (rn+1) = 0  lim (xn+1) = 0 lim (xn) = 0
Jadi , terbukti bahwa (xn) konvergen dan lim (xn) = 0 .
DAFTAR PUSTAKA
blog: www.analisis.real.wordpress.com
http://nuranifadilah.blogspot.com/2013/05/matematika-barisan-bilangan-real.html












Diposting oleh di
Label: , , ,

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)