Makalah tentang Nilai Eigen dalam Matriks

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang Masalah

 Pada tulisan kali ini, kami  mencoba membahas salah satu konsep yang sangat penting dalam Teori Matriks, yakni nilai eigen dari suatu matriks. Nilai eigen memiliki aplikasi yang cukup luas diantaranya untuk penentuan kestabilan suatu sistem, perhitungan ranking suatu web yang dipakai dalam situs Google, konsep diagonalisasi matriks, masalah pengenalan wajah (konsep eigenface) dan lain-lain. Pada bagian ini, saya hanya memperlihatkan bentuk-bentuk matriks yang dapat dipartisi sehingga memudahkan kita untuk menghitung nilai eigen. Namun, kami tetap akan memulai dengan konsep dasar dari nilai eigen.

B.     Rumusan Masalah

Permasalahan dalam makalah ini adalah :

1.      Apakah nilai eigen dalam suatu matriks ?

2.      Bagaimana nilai eigen dalam suatu matriks ?

C.    Tujuan Pembahasan

Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk membantu kita mengetahui apa yang dimaksud dengan nilai eigen dan untuk membantu kita memahami bagaimana nilai eigen dalam suatu matriks .

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Nilai-nilai Eigen dalam  Suatu Matriks

Apabila sebuah matriks A yang berukuran n x n dan sebuah vektor x pada , maka biasanya secara umum tidak ada hubungan geometris antara vektor x dengan vektor Ax (Gambar 11. 1a). Namun, ada beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Ax merupakan penggandaan satu sama lainnya (Gambar 11. 1b). Vektor-vektor tersebut muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris, genetik, reaksi kimia, mekanika kuantum, tekanan mekanis, ekonomi dan geometri.

Sekarang kita akan meninjau ulang beberapa konsep yang telah kita diskusikan dalam pembelajaran yang lalu untuk dikembangkan lebih lanjut.

Definisi :Misalkan A adalah matriks n x n, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu

Ax = λx

untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x disebut suatu vektor eigen (eigen vector) dari a yang berpadanan dengan λ.

Contoh :

sebab Ax adalah kelipatan dari x, yaitu :

Dalam hal ini λ = 3 adalah nilai eigen dari matriks A.

Contoh :

Diketahui matriks

 

adalah vektor-vektor eigen dari matriks P, sebab

Nilai-nilai eigen dari matriks P adalah λ1 = 2 dan λ2 = 1.

B.     Persamaan Karakteristik

Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka kita perlu memperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini dapat kita tulis sebagai berikut:

Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan (1) ini. Menurut teorema dalam bahasan sebelumnya, maka persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika:

det (λ I – A) = 0

Definisi :  Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det (λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.

Dari pemahaman definisi di atas, jelas bahwa jika A adalah matriks n x n, maka persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai derajat n dengan bentuk

det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0

Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode Horner dan persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran n x n paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda. Setelah kita memperhatikan uraian di atas, tentunya para pembaca berharap untuk meninjau ulang Contoh 11. 1 atau Contoh 11. 2 di atas sehingga kita mendapatkan nilai-nilai eigen dari matriks 2 x 2 dengan menyelesaikan persamaan karakteristiknya.

Contoh :

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks

Penyelesaian:

Polinom karakteristik dari matriks Q adalah

= λ2 - 3λ + 2

dan persamaan karakteristik dari matriks Q adalah

λ2 - 3λ + 2 = 0

Penyelesaian dari persamaan ini adalah λ1 = 1 dan λ2 = 2.

Jadi, nilai-nilai eigen dari matriks Q adalah 1 dan 2

Contoh :

Diketahui untuk

Carilah:

a) Persamaan karakteristik dari matriks A

b) Nilai-nilai eigen dari matriks A

Penyelesaian:

a) Persamaan karakteristik dari matriks A adalah

atau det (A - λ I) = det

(4 – λ) (1 – λ)2 + 2(1 – λ) = 0

(4 – λ) (1 – 2λ + λ2) +(2 – 2λ) = 0

λ3 - 6λ2 + 11 λ - 6 = 0

b) Untuk mencari nilai-nilai eigen dari matriks A harus mencari akar-akar atau nilai-nilai λ yang memenuhi persamaan pangkat tiga:

λ3 - 6λ2 + 11 λ - 6 = 0 ……………………....................…. (2)

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita perlu terlebih dahulu memahami persamaan pangkat tinggi dengan akar-akar bulat. Untuk itu tentunya kita masih ingat bahwa secara sederhana dapat memanfaatkan kenyataan tentang semua penyelesaian bilangan bulat (jika himpunan penyelesaian ≠ 0) dari persamaan polinom dengan koefisien-koefisien bilangan bulat.

- harus atau pasti merupakan pembagi dari suku konstanta a0. Jadi, penyelesaian-penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2) adalah pembagipembagi dari 6, yaitu 1, 2, 3, dan 6. Selanjutnya substitusikan nilai-nilai ini berturut-turut pada persamaan (2) sehingga kita dapatkan akar-akarnya, dan tentunya memerlukan bantuan teorema sisa atau metode horner untuk persamaan pangkat tinggi. Dalam hal ini λ = 1 memenuhi persamaan (2), sebab 13 – 6 . 12 +11 . 1 – 6 = 0.

- Sebagai akibatnya (λ – 1) haruslah merupakan factor dari ruas kiri persamaan (2). Dengan bantuan teorema sisa, yaitu membagi persamaan (2) oleh (x – 1) kita dapatkan dua nilai λ lainnya, yaitu λ2 = 2 dan λ3 = 3, sehingga akar dari persamaan (2), yaitu λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3 adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.

- Untuk menyelesaikan persamaan (2) dapat pula dilakukan dengan bantuan metode Horner, dengan langkah pertama sema seperti di atas yaitu sampai mendapatkan λ1 = 1 dan langkah berikutnya sebagai berikut:

(λ – 1) (λ2 - 5λ + 6) = 0

(λ – 1) (λ – 2) (λ - 3) = 0

λ1 = 1, λ2 = 2, dan λ3 = 3

adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.

Contoh :  Carilah nilai-nilai eigen dari matriks

Penyelesaian:

Seperti kedua contoh di atas, maka persamaan karakteristik dari matrik T adalah

Det (A - λ I) = det

(nilai-nilai eigennya adalah bilangan imajiner).

Karena nilai-nilai eigen dari matriks T adalah bilangan imajiner, sedangkan menurut definisi λ adalah skalar atau bilangan real. Maka matriks T tidak mempunyai nilai eigen.

Catatan:

Dari contoh 1. 5 kita mendapatkan nilai-nilai eigen kompleks dari matriks yang real. Hal ini akan membawa kita untuk meninjau kemungkinan ruang-ruang vektor kompleks, yaitu ruang-ruang vektor dengan skalar-skalarnya nilai kompleks. Diskusi kita untuk ruang-ruang vektor kompleks dengan nilai-nilai eigen kompleks akan dijumpai dalam kesempatan lain. Dalam kesempatan sekarang akan dibatasi pada contoh-contoh dengan nilai eigen yang real.

Sekarang kita perhatikan teorema berikut yang merupakan ikhtisar dari hasil-hasil yang telah diperoleh melalui diskusi materi pembelajaran di atas.

Teorema 1.1. Jika A adalah suatu matriks n x n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen

(a) λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.

(b) Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non

trivial).

(c) Ada vektor x yang tidak nol dalam  sedemikian sehingga Ax = λx.

(d) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0

Bukti:

Kita akan memperlihatkan bahwa (a), (b), (c), dan (d) ekuivalen satu sama lainnya dengan membuktikan urutan implikasi (a) (b) (c) (d) (a).

(a)    (b). Karena λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A, maka menurut definisi nilai eigen berlaku: Ax = λx dengan x tak nol.

  λ I x – Ax = 0

  (λ I – A)x = 0

Karena x tak nol maka sistem persamaan linear homogen (λ I – A)x = 0 Harus mempunyai penyelesaian non-trivial.

(b) (c). Karena (λ I – A)x = 0 maka

  Ax = λ I x

  Ax = λ x

(b)   (d). Karena Ax = λ x

  Ax = λ I x

   (λ I – A) x = 0

Karena ada x tidak nol, maka sistem persamaan linear homogen (λ I – A) x = 0 haruslah det (λ I – A) = 0 dengan λ adalah suatu penyelesaian realnya.

(d) (a). Karena λ adalah penyelesaian real dari persamaan det (λ I – A) = 0, maka λ adalah penyelesaian dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0 atau dengan kata lain λ adalah nilai eigen dari matriks A.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

1.      Jika A matriks m n, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λ x untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.

2.       Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A.  Det(λ I – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik.

3.       Jika A adalah suatu matriks n n dan λ adalah suatu bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen

(a) λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.

(b) Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non trivial).

(c) Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx.

(d) λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0

B.     Saran

Kami membuat makalah ini untuk  pembelajaran bersama. Kami mengambil dari berbagai sumber, jadi apabila pembaca menemukan kesalahan dan kekurangan, maka kami sarankan untuk mencari referensi yang lebih baik. Apabila pembaca merasa ada kekurangan dapat membaca buku yang menjadi referensi secara lengkap.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. dan P, Silaban . 1991, Aljabar Linier Elementer. Edisi ketiga .

             Penerbit Erlangga. Jakarta .

http://blog.uin-malang.ac.id/rismalil/files/2010/12/ALIN-NilaiVektoEigen.pdf.

https://www.google.co.id/NilaiVektoEigen.pdf.