BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Masalah
Matematika merupakan cabang mata pelajaran yang luas cakupannya dan bukan
hanya sekedar bisa berhitung atau masukin rumus saja tetapi mencakup beberapa kompetensi
yang menjadikan siswa tersebut dapat memahami dan mengerti tentang konsep
dasar matematika.
Kata
“ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi“. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri adalah ilmu
yang membahas tentang hubungan antara
titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Mempelajari geometri
penting karena geometri telah menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir.
Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang
disusun secara menarik dan logis. Geometri terutama terdiri dari serangkaian
pernyataan tentang titik-titik, garis-garis, dan bidang-bidang, dan juga planar
(proyeksi bidang) dan benda-benda padat. Geometri dimulai dari istilah-istilah
yang tidak terdefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, postulat-postulat
dan selanjutnya teorema-teorema. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai
banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah,
pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lain sebagainya.
Geometri
adalah sistem pertama untuk memahami ide. Dalam geometri beberapa pernyataan
sederhana diasumsikan, dan kemudian ditarik menjadi pernyataan-pernyataan yang
lebih kompleks. Sistem seperti ini disebut sistem deduktif. Geometri
mengenalkan tentang ide konsekuensi deduktif dan logika yang dapat digunakan
sepanjang hidup. Dalam mendefinisikan sebuah kata, pertama digunakan kata yang
lebih sederhana kemudian kata yang lebih sederhana ini pada gilirannya
didefinisikan menjadi kata yang lebih sederhana lagi, sehingga pada akhirnya,
proses tersebut akan berakhir. Pada beberapa tingkatan, definisi harus
menggunakan sebuah kata yang artinya sudah sangat jelas, ini dikarenakan agar
artinya diterima tanpa memerlukan definisi lagi, dengan kata lain dapat disebut
dengan istilah tak terdefinisikan (undefined term).
B.
Rumusan Masalah
Permasalahan dalam makalah ini adalah bagaimana pembahasan geometri yang
khusus pada ruang yaitu geometri analitik ruang yang mencakup tentang materi
bola. Bagaimana pembahasan defenisi bola, sifat-sifat bola , ketentuan pada
bangun ruang bola, persamaan bola. Disamping itu juga bagaimana pembahasan
tentang bidang singgung pada bola dan bidang kutub pada bola .
C.
Tujuan Pembahasan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk membantu kita memahami bangun
ruang pada bola , dan untuk membantu kita menjawab soal yang berhubungan dengan
materi , serta untuk membantu kita dari yang tidak tahu menjadi tahu .
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Bola
Permukaan bola merupakan tempat kedudukan titik ujung
vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan
panjangnya adalah konstant. Selain itu juga bola didefenisikan suatu bangun ruang yang dibatasi oleh
sebuah bidang sisi lengkung. Pengertian lain dari bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya.Dalam
geometri, bola adalah
bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada
satu titik yang sama. Ada
juga yang mendefinisikan bahwa bola
merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama dari suatu titik tertentu.
B.
Sifat- sifat Bola
1.
Bola memiliki sisi lengkung.
2.
Bola tidak memiliki titik sudut dan rusuk.
3.
Bola mempunyai satu sisi dan satu titik pusat.
4.
Sisi bola disebut dinding bola
5.
Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari
6.
Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat
disebut diameter
C. Ketentuan pada Bangun Ruang Bola
1. Pada bola terdapat
jari-jari dengan panjang yang sama ke segala arah dari titik pusat bola
2. Garis yang
membelah bola melewati titik pusat adalah garis tengah ( 2 x jari- jari)
3. Bola itu
berbentuk bundar merata kesegala arah.
4. Rumus Volume Bola =
x
5. Rumus Luas Bola = 4
6.
= 3,14 atau
D.
Persamaan Bola
Misalkan Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut) :
Ambil titik sebarang
P(x˳, y˳, z˳) pada bola B, maka berlaku:
MP = OP – OM
= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)
= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)
Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:
│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:
R = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²
Bila titik P(x˳, y˳, z˳) dijalankan,
maka diperoleh tempat kedudukan titik-titik yang dicari, yaitu persamaan bola.
Jadi persamaan bola yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R
adalah
(x – a)² + (y – b)² + (z – c)²
= R² ….(I)
Bila persamaan (I) dijabarkan, maka diperoleh:
x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0
… (II)
Dari persamaan (II) diatas, apabila:
-2a = A, -2b = B, -2c = C
dan a² + b² + c² – R² = D, maka persamaan (II) dapat ditulis sebagai
berikut:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D
= 0 ….(III)
Selanjutnya Persamaan
(III) disebut bentuk umum persamaan Bola karena:
-2a = A, maka a = -½ A
-2b = B, maka b = -½B
-2c = C, maka c = -½C
Dengan demikian pusat Bola pada persamaan (III) diatas adalah
M(-½A, -½B, -½C) ….(IV)
Begitu pula karena a² + b² + c² – R² = D, maka didapat:
R² = a² + b² + c² – D
R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D
R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D
R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(V)
Bentuk
(IV) dan (V) berturut-turut adalah koordinat titik pusat dan jari-jari bola yang
mempunyai persamaan (III) diatas.
Untuk bola dengan persamaan x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0
terdapat tiga kemungkinan, yaitu
1. Bila R² > 0, maka B adalah
bola sejati
2. Bila R² = 0, maka B adalah bola
titik (jari-jari = 0)
3. Bila R² < 0, maka B merupakan
bola khayal .
E. Bidang Singgung pada Bola
Ada tiga
kemungkinan kedudukan bidang datar dan bola.
Kemungkinan yang pertama,
bidang memotong bola. Kedua, bidang menyinggung bola dan ketiga bidang tidak
menyinggung maupun memotong bola.
Bidang menyinggung bola, jika jarak titik pusat bola ke bidang datar
sama dengan jari-jari bola.
Jika jarak titik bola ke bidang datar
lebih besar dari jari-jari bola maka
bidang datar dan bola tidak
mempunyai titik persekutuan dan menjadi persamaan lingkaran imaginer.
Kalau persamaan bola
+
+
=
, maka bidang singgungnya adalah (
– a) (x – a) + (
– b) (y – b) + (
- c) (z – c) =
Dan bila persamaan bola
+
+
=
maka bidang
singgungnya adalah :
x +
y +
z =
.
Contoh :
Cari persamaan bola dengan pusat ( 1,1,4 ) dan
menyinggung bidang x + y =12
Penyelesaian :
Jarak dari pusat bol terhadap bidang adalah
merupakan jari-jri dari bola yang
Ditanyakan.
Jarak dari ( 1,1 4 ) terhadap bidang x+y=12 adalah
Sehingga persamaan bola yang ditanyakan adalah
F. Bidang Kutub pada Bola
Pandang bola S =
0 dan titik(
,
,
) O , tarik garis g melalui G yang
memotong bola di P dan
Q. titik R (
,
,
) pada garis g sedemikian sehingga P,Q sekawan
harmonis dengan G, R,maka tempat kedudukan dari titik R apabila g
bergerak merupakan suatu
bidang rata yang disebut bidang kutub (bidang polar)
bola S = 0 dengan kutub (titik Kutub) titik G.
Persamaan bidang kutub
mengikuti pola kaidah membagi adil, dimana
(
,
,
) menunjukkan titik kutubnya. Kalau titik kutub diluar bola,
maka bidang
kutub merupakan bidang yang
memuat lingkaran yang berpotongan bola dengan
kerucut selubung bola yang puncaknya di titik tersebut. Sehingga persamaan
bidang kutub :
x +
y +
z =
.
Contoh :
1. Tentukan
bidang kutub bola x2 + y2 + z2 – 6x + 2y + 4z – 16 = 0
dengan titik
kutub (6,4,-8) !
Penyelesaian :
Dengan kaidah
membagi adil, bidang kutub :
x1x +
y1y + z1z – 3 (x + x1) + (y + y1) + 2 (z + z1) – 16 = 0, dimana
(x1,y1,z1) =
(6,4,-8),
berarti diperoleh : 3x + 5y – 6z - 46 = 0
2. Tentukan
titik kutub dari bidang 3x – 4y + 5z = 2 terhadap bola
x2 + y2
+ z2 = 4 !
Penyelesaian : :
Bidang kutub
bola x2 + y2 + z2 = 4 adalah x1x + y1y + z1z = 4. kita identikkan
dengan 3x –
4y + 5z = 2 atau 6x – 8y + 10z = 4. jadi, titik-titik kutub
(6, -8, 10) .
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dalam geometri, bola adalah
bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada
satu titik yang sama. Persamaan bola adalah x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 .
Kalau persamaan bola
+
+
=
, maka bidang singgungnya adalah (
– a) (x – a) + (
– b) (y – b) + (
- c) (z – c) =
Dan bila persamaan bola
+
+
=
maka bidang
singgungnya adalah :
x +
y +
z =
.
Persamaan bidang kutub
mengikuti pola kaidah membagi adil, dimana
(
,
,
) menunjukkan titik kutubnya. Kalau titik kutub diluar bola,
maka bidang
kutub merupakan bidang yang
memuat lingkaran yang berpotongan bola dengan
kerucut selubung bola yang puncaknya di titik tersebut. Sehingga persamaan
bidang kutub :
x +
y +
z =
.
B. Saran
Kami membuat makalah ini untuk
pembelajaran bersama. Kami mengambil dari berbagai sumber, jadi apabila pembaca
menemukan kesalahan dan kekurangan, maka kami sarankan untuk mencari referensi
yang lebih baik. Apabila pembaca merasa ada kekurangan dapat membaca buku yang
menjadi referensi secara lengkap.
DAFTAR PUSTAKA
lumayan saya dapat bantuan..
BalasHapusthanks yh...